방법은 다르지만 저도 최대값은 루트 삼이요...

이 경우는 직관이 잘 들어맞는 것 같습니다.
제가 계산한 결과도 최대값 √3, 최소값 1이네요.

저는 따로 벡터를 써서 계산해봤는데요...
정육면체의 6개 면 가운데 정사영으로 표시될 면은 최대 3개입니다.

위 그림에서 점 H 를 원점으로 잡고, 직선 HE, HG, HD 를 각각 x, y, z 축으로 잡아봅시다.
(점 E, G, D 는 각 축의 양의 방향에 놓여 있는 점입니다.)

정사영될 평면의 법선벡터를 <b>a</b> = (p, q, r) (p≥0, q≥0, r≥0 이고 세 성분이 동시에 0 이 되는 경우는 없다고 가정, 단위벡터라고 하면 p² + q² + r² = 1) 정사영될 수 있는 세 면은 AEFB, BFGC, ABCD 가 될 수 있습니다.
(나머지 세 면으로 잡아도 되지만 계산의 편리상 이렇게 잡습니다. 결과는 마찬가지니까요...)

이제 각 면 AEFB, BFGC, ABCD 의 법선벡터중 <b>a</b>와 예각을 이루는 벡터를 각각 <b>b1</b>, <b>b2</b>, <b>b3</b> 라 잡으면
<b>b1</b> = (1, 0, 0), <b>b2</b> = (0, 1, 0), <b>b3</b> = (0, 0, 1)

각 면과 정사영되는 평면이 이루는 각은 각 면의 법선벡터와 정사영되는 평면의 법선벡터가 이루는 각이므로 그 각을 각각 θ1, θ2, θ3 라 하면
cos(θ1) = <b>a</b>·<b>b1</b> / {|<b>a</b>|×|<b>b1</b>|} = p
cos(θ2) = q, cos(θ3) = r

이제 세 면이 정사영된 면적의 합을 구하면
S = 1×cos(θ1) + 1×cos(θ2) + 1×cos(θ3) = p + q + r

1) Cauchy-Schwarz 부등식을 쓰면
S² = (p + q + r)² = (1×p + 1×q + 1×r)² ≤ (1² + 1² + 1²)×(p² + q² + r²) = 3
(등호는 p = q = r 일 때 성립 ⇒ p = q = r = (1/3))
∴ S = p + q + r ≤ √3 (<b>a</b> = (1/3, 1/3, 1/3) 일 때이며 이 벡터와 나란한 직선은 직선 HB)

2) S² = (p + q + r)² = (p² + q² + r²) + 2(pq + qr + rp) = 1 + 2(pq + qr + rp)
여기서 p≥0, q≥0, r≥0, p² + q² + r² = 1 이라고 했으므로
pq + qr + rp ≥ 0 (등호는 (p, q, r) = (0, 0, 1) 또는 (0, 1, 0) 또는 (1, 0, 0) 일 때이며 각각 x축, y축, z축과 평행한 단위벡터를 나타낸다. 즉, 세 면 중 한 면이 정사영될 면과 평행한 경우임)
∴ S = p + q + r ≥ 1

따라서 최소값은 1, 최대값은 √3