지금은 문제와 해설이 보이나요?

지금시간이 없어서 다 읽진 못했지만.. 대강 무슨뜻인지 알겠습니다만..
ㄷ은 f\'(x)가 0에서 연속이라는거에요~f(x)가 아니라;;
f\'(0)을 구할 수 있다면 f(x)가 0에서 미분가능한거고 그러면
f(x)가 0에서 연속인거 맞는데
f\'(x)가 0에서 연속인지는 따로 또 계산해야..;;

제가 님 질문..제대로 답변드린거 맞죠?ㅡㅡ\'
맞다면 살짝 착각을 일으키신듯

미분계수 f\'(0)이 존재(도함수 f\'(x)의 x=0에서의 함수값이 존재함) 하므로

원함수 f(x)는 x=0에서 미분 가능하다

라는 논리는 이해가 갑니다.

그런데 미분의 의미를 순간변화율이라고 놓고 보면 좀 이상하다는 것이죠.

즉, f\'(0)=0 이라는 뜻은

원함수 f(x)의 x=0 전후에서의 접선의 기울기가 0이라는 뜻으로

받아들일 수 있다면

ㄷ 해설에서 lim(x->0) f\'(x) 가 진동 발산한다는 말이 앞뒤가

안맞아 보인다는겁니다.

lim(x->0) f\'(x) 가 진동 발산한다면

원함수 f(x) 의 x=0 의 근방의 접선의 기울기가 진동한다는 의미가

되는거죠

저는 그 동안 f\'(a) (a는 임의의 상수) 의 의미를 줄곧 순간 변화율이라고

생각해왔거든요. 실제로 도함수를 구하는 과정을 살펴보면 단순대입하여

함수값을 구하는 상황이 아니라고 판단되고요.

하지만 이문제를 풀면서 f\'(a) 의 의미는 단순히 도함수에 x=a를 대입하여

함수값을 구하는 것이 아닌가 하는 의구심이 들더군요.

미분계수=순간변화율

이라는 개념이 흔들린거죠.

네이버에서 퍼왔어요. 참고하세요. ㅎㅎ

질문 : 도함수는 항상 연속이 되는지? 참 거짓과 그 이유좀 말해주세염~


답변 : 미분 가능이라도 도함수가 항상 연속이 되지는 않습니다.

다음과 같은 함수는 미분가능이지만 도함수는 불연속입니다.

f(x) = x2 sin 1/x (x ≠ 0)
f(x) = 0 (x = 0)

x ≠ 0일 때는 그냥 미분하면 되고, x = 0에서는 평균변화율의 극한을 구하면

limx->0 {x2 sin 1/x - 0}/x
= limx->0 x sin 1/x

-1 ≤ sin 1/x ≤ 1이므로

limx->0 -x ≤ limx->0 x sin 1/x ≤ limx->0 x

인데 양변이 0이니까 limx->0 x sin 1/x = 0이 되어야 합니다. 따라서 도함수는 다음가 같습니다.

f\'(x) = 2x sin 1/x - cos 1/x (x ≠ 0)
f\'(x) = 0 (x = 0)

limx->∞ f\'(x) = limx->∞ 2x sin 1/x - cos 1/x의 극한을 구하면 cos 1/x 때문에 진동하게 됩니다. 그래서 f\'(x)는 x = 0에서 불연속이 됩니다.

내용출처 : B. R. Gelbaum, J. H. M. Olmsted, Counterexamples in Analysis, Holden-Day, p. 36

머리로는 이해가 되고 가슴으론 이해가 안가는 참극이 벌어지는군요.. ㅠㅠ

극한은 너무 어려운거 같습니다..

님께서 좀 착각하신 것 같아요.

f\'(x)의 연속과 f(x)의 연속은 별개입니다.

f\'(0)=0 이라는 것은 f\'(x)라는 함수의 x=0일때의 함수값이 0 이라는 뜻이지 f\'(x)의

x=0에서의 미분계수라는 뜻이 아닙니다.

즉 f\'(0)=0 은  함수 f(x)의 x=0에서의 미분계수이지 f\'(x)의 x=0에서의 미분계수가 아니에요.

그러니 f\'(x)의 연속과 f(x)의 미분가능성과는 아무 관련이 없는거죠..

이해가 되셨는지 모르겠네요..

f(x) 도함수가 x=0 에서 불연속이 아니라 f(x)가 불연속이 아닌가요?
f(x)는 x=0에서 불연속이지만 미분가능이 아닌지요?
아~ 헷갈리네요.. 얼렁 정석 디비 봐야것다..

가슴으로 이해해봅시다.

볼트나사못이있다고 생각을 해봅시다. 끝부분을 극한으로 뾰족하게 한다고 하면
맨 끝부분의 나사는 어떻게 생겨야 할것 같습니까?
[]=/=/=/=/=/?? 맨 끝부분의 꼬이는 부분은 위로 향하겠습니까? 아래로 향하겠습니까?
정할수 없죠.
하지만 분명한건. 맨 끝점은 극한으로 뾰족하므로 기울기가 수평이라는 겁니다.

기울기가 0이란 소리죠.


님이생각하신 미분개념 흔들릴 필요 전혀 없습니다.
다만 그래프를 떠올리지 못하시니 흔들리는겁니다.
그래프의 개형을 떠올려 보세요.

원점을 향하여 극한으로 갈때,
기울기는 음과 양을 수없이 진동하고,
y값도 0을 향하여 가므로 진동폭은 점점 좁아지고,
아무리 확대해도 0의 좌우를 정할수는 없습니다.
다만,
x=0에서의 기울기는 분명히 0이라는 겁니다.

x가 무한대로 갈때 그래프의 진동은 안그리면 그만이지만
x가 특정값으로 무한히 접근할때의 진동을 그리려면 어떻게 해야할지를 생각하시면
이해가 갈것입니다.

여러분들의 도움으로 다음과 같은 생각을 해보았습니다.

g(x)=(sin x)/x 위의 점 (a,(sin a)/a)) 과 원점 (0,0) 을 이은 직선의 기울기는

a가 무한히 커질 때 0으로 수렴한다. 그러나 g(x)는 영원히 진동한다.

즉, 이 문제에서 성전사-단바인님 께서도 지적 하셨듯이

원함수는 x가 0으로 갈 때 y도 0으로 가니 진폭이 0으로 수렴한다고 볼 수 있고

이런 상황에서의 변화율도 0으로 갑니다. (x=0 에서의 순간변화율, 즉 f\'(0)=0 란 뜻)

하지만 원함수가 x=0 의 전후에서 진동을 하는 것 또한 사실.

따로 놓고 보았을 때 이해가 되지 않던 것이

이제야 후련하게 이해가 되는군요. ^^

답변 해주신 모든 분들께 감사드립니다!

특히 성전사-단바인님께서 해주신 답변이 결정적이었네요. 감사합니다. ^^