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인생은한번 05-10-04 01:00 222.♡.30.158 x=g(t) 가 일대일 함수가 아닐 경우에는 변역에 문제가 생기기 때문인것 같읍니다. x^2 +1 = t로 두고 -2부터 2까지 적분하면 t는 5부터 5까지로 변역이 같게 되기 때문에 문제 가 생깁니다. 아마 변역과 깊이 들어가면 함수자체의 정의의 문제인것 같은데...그이상은 잘 모르겠네요. x=g(t) 가 일대일 함수가 아닐 경우에는 변역에 문제가 생기기 때문인것 같읍니다. x^2 +1 = t로 두고 -2부터 2까지 적분하면 t는 5부터 5까지로 변역이 같게 되기 때문에 문제 가 생깁니다. 아마 변역과 깊이 들어가면 함수자체의 정의의 문제인것 같은데...그이상은 잘 모르겠네요.



갈매기의꿈 05-10-05 11:20 210.♡.166.249 <font style=\"font-family:Times New Roman; font-size:9pt;\">다음 두 가지 예를 보면서 한 번 알아보기로 합시다. (1) ∫[x=-1부터 2까지] {2x(x<sup>2</sup>+1)} dx 그냥 계산하면 (21/2) 이 나옵니다. 여기서 t = x<sup>2</sup> + 1 이라고 하고 그냥 치환적분을 쓰면      2x dx = dt ∴ (식) = ∫[t=2부터 5까지] t dt = 21/2 같은 값이 나오네요... (2) ∫[x=-1부터 2까지] {2(x<sup>2</sup>+1)} dx 이 식을 그냥 계산하면 12 가 나옵니다. 여기서      t = x<sup>2</sup> + 1 ---(ㄱ) 로 하는 치환적분을 쓴다고 해봅시다.      2x dx = dt ∴ (식) = ∫[x=-1부터 2까지] {t / x} dt x를 완전히 없애기 위해서 (ㄱ)을 x에 관해서 정리하면 x = -√(t - 1) if x < 0,      √(t - 1) if x ≥ 0 그러니까 x의 범위에 따라 구간을 나눌 수 밖에 없게 됩니다. ∴ (식) = ∫[x=-1부터 0까지] {t / -√(t - 1)} dt + ∫[x=0부터 2까지] {t / √(t - 1)} dt 적분 구간을 t 에 관해서 써 보면    (식) = ∫[t=2부터 1까지] {t / -√(t - 1)} dt + ∫[t=1부터 5까지] {t / √(t - 1)} dt 치환을 하게 되면 (1)번처럼 구간을 나눌 필요가 없는 경우가 있고, (2)번처럼 구간을 나누어야 하는 경우도 생깁니다. (2)번의 예에서 보면 적분 구간을 결국 [-1, 0] 과 [0, 2]로 나눈 결과가 됩니다. 이렇게 나누어진 구간에서 x 는 변수 t에 대해 각각 감소 또는 증가하는 함수임을 알 수 있습니다. 그러니까 교재의 내용에서 나오는 공식은 적분 구간을 나눌 필요가 없는 경우를 말하고 있는 것닌데, 부득이하게 적분 구간을 나눌 수 밖에 없는 경우는 나누어진 정적분 식 각각이 교재의 내용과 같은 조건을 만족하게 됩니다. 일대일 관계가 성립하지 않는 치환식을 쓰게 된다면, 적분 구간을 나누어서 생각해야 하는 경우가 생기게 되고, 이 때 적분 구간을 나누어서 생각하면 치환식이 일대일 관계를 만족한다는 결론이 나옵니다. [참고] (1)번 문제를 적분 구간을 [-1,0], [0,2] 로 나누어서 계산해보면 ∫[x=-1부터 0까지] {2x(x<sup>2</sup>+1)} dx + ∫[x=0부터 2까지] {2x(x<sup>2</sup>+1)} dx = ∫[t=2부터 1까지] t dt + ∫[t=1부터 5까지] t dt = ∫[t=2부터 5까지] t dt (∵ ∫[x=a부터 b까지] f(x) dx + ∫[x=b부터 c까지] f(x) dx = ∫[x=a부터 c까지] f(x) dx) 이 경우는 결국 적분 구간을 나누지 않고 계산하는 것과 같아집니다.</font> <font style=\"font-family:Times New Roman; font-size:9pt;\">다음 두 가지 예를 보면서 한 번 알아보기로 합시다. (1) ∫[x=-1부터 2까지] {2x(x<sup>2</sup>+1)} dx 그냥 계산하면 (21/2) 이 나옵니다. 여기서 t = x<sup>2</sup> + 1 이라고 하고 그냥 치환적분을 쓰면      2x dx = dt ∴ (식) = ∫[t=2부터 5까지] t dt = 21/2 같은 값이 나오네요... (2) ∫[x=-1부터 2까지] {2(x<sup>2</sup>+1)} dx 이 식을 그냥 계산하면 12 가 나옵니다. 여기서      t = x<sup>2</sup> + 1 ---(ㄱ) 로 하는 치환적분을 쓴다고 해봅시다.      2x dx = dt ∴ (식) = ∫[x=-1부터 2까지] {t / x} dt x를 완전히 없애기 위해서 (ㄱ)을 x에 관해서 정리하면 x = -√(t - 1) if x < 0,      √(t - 1) if x ≥ 0 그러니까 x의 범위에 따라 구간을 나눌 수 밖에 없게 됩니다. ∴ (식) = ∫[x=-1부터 0까지] {t / -√(t - 1)} dt + ∫[x=0부터 2까지] {t / √(t - 1)} dt 적분 구간을 t 에 관해서 써 보면    (식) = ∫[t=2부터 1까지] {t / -√(t - 1)} dt + ∫[t=1부터 5까지] {t / √(t - 1)} dt 치환을 하게 되면 (1)번처럼 구간을 나눌 필요가 없는 경우가 있고, (2)번처럼 구간을 나누어야 하는 경우도 생깁니다. (2)번의 예에서 보면 적분 구간을 결국 [-1, 0] 과 [0, 2]로 나눈 결과가 됩니다. 이렇게 나누어진 구간에서 x 는 변수 t에 대해 각각 감소 또는 증가하는 함수임을 알 수 있습니다. 그러니까 교재의 내용에서 나오는 공식은 적분 구간을 나눌 필요가 없는 경우를 말하고 있는 것닌데, 부득이하게 적분 구간을 나눌 수 밖에 없는 경우는 나누어진 정적분 식 각각이 교재의 내용과 같은 조건을 만족하게 됩니다. 일대일 관계가 성립하지 않는 치환식을 쓰게 된다면, 적분 구간을 나누어서 생각해야 하는 경우가 생기게 되고, 이 때 적분 구간을 나누어서 생각하면 치환식이 일대일 관계를 만족한다는 결론이 나옵니다. [참고] (1)번 문제를 적분 구간을 [-1,0], [0,2] 로 나누어서 계산해보면 ∫[x=-1부터 0까지] {2x(x<sup>2</sup>+1)} dx + ∫[x=0부터 2까지] {2x(x<sup>2</sup>+1)} dx = ∫[t=2부터 1까지] t dt + ∫[t=1부터 5까지] t dt = ∫[t=2부터 5까지] t dt (∵ ∫[x=a부터 b까지] f(x) dx + ∫[x=b부터 c까지] f(x) dx = ∫[x=a부터 c까지] f(x) dx) 이 경우는 결국 적분 구간을 나누지 않고 계산하는 것과 같아집니다.</font>



palpatine 05-10-06 08:21 59.♡.105.177 답변 감사합니다 그러니까 꼭 일대일대응이어야만 치환적분이 되는것은 아니지만 일대일대응이 아닐때는 적분구간을 나누어서 일대일대응으로 만들어야 하는 경우가 있다는 말씀이군요. 답변 감사합니다 그러니까 꼭 일대일대응이어야만 치환적분이 되는것은 아니지만 일대일대응이 아닐때는 적분구간을 나누어서 일대일대응으로 만들어야 하는 경우가 있다는 말씀이군요.